arcsin的积分

积分 \\（ \\int \\arcsin（x） \\, dx \\） 可以通过分部积分法来求解。分部积分法的公式是 \\（ \\int u \\, dv = uv - \\int v \\, du \\）。

令 \\（ u = \\arcsin（x） \\） 则 \\（ du = \\frac{1}{\\sqrt{1 - x^2}} \\, dx \\），

令 \\（ dv = dx \\） 则 \\（ v = x \\）。

应用分部积分法，我们得到：

\\（ \\int \\arcsin（x） \\, dx = x \\arcsin（x） - \\int x \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{1 - x^2}} \\, dx \\）

接下来，我们需要计算 \\（ \\int \\frac{x}{\\sqrt{1 - x^2}} \\, dx \\）。

令 \\（ t = 1 - x^2 \\） 则 \\（ dt = -2x \\, dx \\）， 或者 \\（ x \\, dx = -\\frac{1}{2} \\, dt \\）。

因此，

\\（ \\int \\frac{x}{\\sqrt{1 - x^2}} \\, dx = -\\frac{1}{2} \\int \\frac{1}{\\sqrt{t}} \\, dt = -\\sqrt{t} + C = -\\sqrt{1 - x^2} + C \\）

将这个结果代回到分部积分的结果中，我们得到：

\\（ \\int \\arcsin（x） \\, dx = x \\arcsin（x） + \\sqrt{1 - x^2} + C \\）

其中 \\（ C \\） 是积分常数。

请注意，这个结果也可以表示为 \\（ \\int \\arcsin（x） \\, dx = \\frac{1}{2} \\left[ 2x \\arcsin（x） + \\sqrt{1 - x^2} \\right] + C \\），两者是等价的

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