ln1-x的积分是什么

积分 \\（\\int \\ln（1-x）dx\\） 可以通过分部积分法来求解。分部积分法的公式是 \\（\\int u dv = uv - \\int v du\\）。

令 \\（u = \\ln（1-x） \\） 和 \\（dv = dx\\），则 \\（du = -\\frac{1}{1-x}dx\\） 和 \\（v = x\\）。

应用分部积分法，我们得到：

\\（\\int \\ln（1-x）dx = x\\ln（1-x） - \\int x \\left（ -\\frac{1}{1-x} \\right） dx\\）

\\（= x\\ln（1-x） + \\int \\frac{x}{1-x} dx\\）

为了积分 \\（\\frac{x}{1-x}\\），我们可以令 \\（t = 1-x\\），则 \\（dt = -dx\\） 和 \\（x = 1-t\\）。

代换后得到：

\\（\\int \\frac{x}{1-x} dx = \\int \\frac{1-t}{t} （-dt）\\）

\\（= -\\int \\left（ 1 - \\frac{1}{t} \\right） dt\\）

\\（= -t + \\ln|t| + C\\）

将 \\（t = 1-x\\） 代回原式，得到：

\\（\\int \\ln（1-x）dx = x\\ln（1-x） - （1-x） - \\ln|1-x| + C\\）

\\（= x\\ln（1-x） - 1 + x - \\ln（1-x） + C\\）

\\（= （x-1）\\ln（1-x） - x + C\\）

其中 \\（C\\） 是积分常数。

所以， \\（\\int \\ln（1-x）dx = （x-1）\\ln（1-x） - x + C\\）

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